生成学习算法的例子

例一：高斯判别分析和logistic函数

我们来看一个例子，对于一个高斯判别分析问题，根据贝叶斯： \[ \begin{align} p(y=1|x) &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x)} \\\ &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=0)p(y=0)+p(x|y=1)p(y=1)} \end{align} \] 在这里，我们提出几个假设：

\(p(y)\)是均匀分布的，也就是\(p(y=1)=p(y=0)\)
\(x\)的条件概率分布（\(p(x|y=0)\)和\(p(x|y=1)\)）满足高斯分布。

考虑二维的情况：

蓝色数据表达的是\(p(x|y=0)\)的分布，红色数据表达的是\(p(x|y=1)\)的分布，两条蓝色和红色的曲线分别是它们的概率密度曲线。

而灰色的曲线则表示了\(p(y=1|x)\)的概率密度曲线。

假设\(p(x|y=0) \sim N(\mu_0, \sigma_0)\)，\(p(x|y=1) \sim N(\mu_1, \sigma_1)\)，而\(p(y)\)均匀分布那么： \[ \begin{align} p(y=1|x) &= \frac{N(\mu_0,\sigma_0)}{N(\mu_0,\sigma_0)+N(\mu_1,\sigma_1)} \\\ &= \cdots \\\ &= \frac{1}{1+\frac{\sigma_0}{\sigma_1}exp(2\sigma_1^2(x-\mu_0)^2-2\sigma_0^2(x-\mu_1)^2} \end{align} \] 事实上，这条曲线跟我们之前见过的logistic曲线非常像，特别是当我们假设\(\sigma_0=\sigma_1\)的时候，就是一条logistic曲线。

我们有如下的推广结论： \[ {\begin{cases} p(x|y=1) \sim Exp Family(\eta_1) \\\ p(x|y=0) \sim Exp Family(\eta_0) \end{cases}} \Rightarrow p(y=1|x)是logistic函数 \] 但这个命题的逆命题并不成立，故而我们知道，logistic所需要的假设更少（无需假设\(x\)的条件概率分布），鲁棒性更强。而生成函数因为对数据的分布做出了假设，所以需要的数据量会少于logstic回归，我们需要在两者之间进行权衡。

例二：垃圾邮件分类（1）

这里我们会用朴素贝叶斯（Naive Bayes）来解决垃圾邮件分类问题（\(y\in \lbrace 0, 1 \rbrace\)）。

首先对邮件进行建模，生成特征向量如下： \[ x= \begin{bmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \vdots \\\ 1 \\\ \vdots \end{bmatrix} \begin{matrix} a \\\ advark \\\ ausworth \\\ \vdots \\\ buy \\\ \vdots \end{matrix} \] 这是一个类似于词频向量的特征向量，我们有一个50000个词的词典，如果邮件中出现了某个词汇，那么其在向量中对应的位置就会被标记为1，否则为0。

我们的目标是获取，垃圾邮件和非垃圾邮件的特征分别是怎么样的，也即\(p(x|y)\)。\(x={\lbrace 0, 1 \rbrace}^n, y \in \lbrace 0, 1 \rbrace\)，这里我们的词典中词汇数量是50000，所以\(n=50000\)，特征向量\(x\)会有\(2^{50000}\)种可能，需要\(2^{50000}-1\)个参数。

我们假设\(x_i|y\)之间相互独立(虽然假设各个单词的出现概率相互独立不是很合理，但是即便这样，朴素贝叶斯的效果依旧不错)，根据朴素贝叶斯，我们得到： \[ p(x_1, x_2, \ldots, x_{50000}|y)=p(x_1|y)p(x_2|y) \cdots p(x_{50000}|y) \] 单独观察\(p(x_j|y=1)\)： \[ p(x_j|y=1) = p(x_j=1|y=1)^{x_j}p(x_j=0|y=1)^{1-x_j} \] 给定三个参数： \[ \begin{align} \phi_{j|y=1} &= p(x_j=1|y=1) \\\ \phi_{j|y=0} &= p(x_j=1|y=0) \\\ \phi_y &= p(y = 1) \end{align} \] 故： \[ \begin{align} p(x_j|y=1) &= \phi_{j|y=1}^{x_j}(\phi_y - \phi_{j|y=1})^{1-x_j}\\\ p(x_j|y=0) &= \phi_{j|y=0}^{x_j}(1-\phi_y + \phi_{j|y=0})^{1-x_j} \\\ p(x_j|y) &= p(x_j|y=1)^yp(x_j|y=0)^{1-y} \\\ p(y) &= \phi_y^y(1-\phi_y)^{1-y} \end{align} \] 按照上个博客生成学习算法的概念中所述，我们会选用联合概率分布的极大似然来导出最优解： \[ l(\phi_y,\phi_{j|y=1},\phi_{j|y=0}=\prod_{i=1}^mp(x^{(i)},y^{(i)})=\prod_{i=1}^mp(x^{(i)}|y^{(i)})p(y^{(i)}) \]

可以解得： \[ \begin{align} \phi_{j|y=1} &= \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace x_j{(i)}=1, y^{(i)}=1 \rbrace}{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)}=1 \rbrace} = \frac{统计所有包含词语j的垃圾邮件的数量}{垃圾邮件的总数}\\\ \phi_{j|y=0} &= \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace x_j{(i)}=1, y^{(i)}=0 \rbrace}{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)}=0 \rbrace} = \frac{统计所有包含词语j的非垃圾邮件的数量}{非垃圾邮件的总数} \\\ \phi_y &= \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)}=1 \rbrace}{m} = \frac{垃圾邮件的数量}{邮件的总数} \end{align} \] 通过以上的公式，我们已经可以完全推得\(p(x_1, x_2, \ldots, x_{50000}|y)\)。

Laplace平滑

假设，训练集中，我们重来没有碰到过"NIPS"这个词汇，假设我们词典中包含这个词，位置是30000，也就是说： \[ \begin{align} p(x_{30000}=1|y=1) &= 0\\\ p(x_{30000}=0|y=1) &= 0 \end{align} \\\ \Downarrow \\\ p(x|y=1) =\prod_{i=1}^{50000}p(x_i|y=1)=0 \\\ p(x|y=0) =\prod_{i=1}^{50000}p(x_i|y=0)=0 \] 故而在分类垃圾邮件时： \[ \begin{align} p(y=1|x) &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x)} \\\ &=\frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=0)p(y=0)+p(x|y=1)p(y=1)} \\\ &= \frac{0}{0+0} \end{align} \] 所以，我们提出\(p(x_{30000}=1|y=1) = 0\)这样的假设不够好。

Laplace平滑就是来帮助解决这个问题的。

举例而言，在计算： \[ \phi_y=p(y=1)=\frac{\text{numof(1)}}{\text{numof(0)}+\text{numof(1)}} \] 其中，\(\text{numof(1)}\)表示的是，被分类为1的训练集中数据个数。

在Laplace平滑中，我们会采取如下策略: \[ \phi_y=p(y=1)=\frac{\text{numof(1)}+1}{\text{numof(0)}+1+\text{numof(1)}+1} \] 比如，A球队在之前的五场比赛里面都输了，我们预测下一场比赛赢的概率： \[ p(y=1)=\frac{0+1}{0+1+5+1}=\frac{1}{7} \] 而不是简单的认为（没有Laplace平滑）是0。

推广而言，在多分类问题中，\(y\in\lbrace1, \ldots, k \rbrace\)，那么： \[ p(y=j) = \frac{\sum_{i=1}^m1\lbrace y^{(i)} = j \rbrace+1}{m+k} \]

例三：垃圾邮件分类（2）

之前的垃圾分类模型里面，我们对邮件提取的特征向量是： \[ x=[1,0,0,\ldots,1,\ldots]^T \] 这种模型，我们称之为多元伯努利事件模型（Multivariate Bernoulli Event Model）。

现在，我们换一种特征向量提取方式，将邮件的特征向量表示为： \[ x=[x_1,x_2,\ldots,x_j,\ldots]^T \] \(x_j\)表示词汇\(j\)在邮件中出现的次数。上述的特征向量也就是词频向量了。这种模型，我们称为多项式事件模型（Multinomial Event Model）。

对联合概率分布\(p(x,y)\)进行极大似然估计，得到如下的参数： \[ \begin{align} \phi_{k|y=1} &= p(x_j=k|y=1) = \frac{C_{x=k}+1}{C_{y=1}+n} \\\ \phi_{k|y=0} &=p(x_j=k|y=0) = \frac{C_{x=k}+1}{C_{y=0}+n} \\\ \phi_{y} &= p(y=1) = \frac{C_{y=1}+1}{C_{y=1}+1+C_{y=0}+1} \end{align} \] 其中：

\(n\)表示词典中词汇的数量，也就是特征向量的长度； \[ C_{x=k}=\sum_{i=1}^m(1\lbrace y^{(i)}=1 \rbrace \sum_{j=1}^{n_i}1 \lbrace x_j^{(i)} = k \rbrace) \] 表示在训练集中，所有垃圾邮件中词汇\(k\)出现的次数（并不是邮件的次数，而是词汇的次数）； \[ C_{y=1}=\sum_{i=1}^n(1\lbrace y^{(i)} = 1 \rbrace \cdot n_i) \] 表示训练集中垃圾邮件的所有词汇总长； \[ C_{y=0}=\sum_{i=1}^n(1\lbrace y^{(i)} = 0 \rbrace \cdot n_i) \] 表示训练集中非垃圾邮件的所有词汇总长；